金城翼

友人で共同研究者のTudorが書いたHiggs束のモジュライ空間のBPSコホモロジーについてのブログ記事。研究の動機から最新の話題までコンパクトにまとまってる: tudorpad.github.io/blog/bps-…

あ、そうか、e^h-1で展開すれば係数の整数性だけで分かるのね（[E] = Σa_i[L^i]と置いてゴリゴリ計算してしまったw） 面白かった！

nが4以上のときは2•ch_2の係数と24•ch_4の係数がmod 3で異なることから非存在が分かり、n=2, 3のときは[O^4] - [L] - [L^{-1}]がrank 2のベクトル束として実現できることがオイラー類の計算から分かる、みたいな感じでどうでしょう？

正解！僕はLefschetz数を具体的に計算すると(d^2 + d + 1)型の数の積になることを使って示したけど、involutionを使ってmod 2で計算するのが一番早そうだね

I think this is not correct. For example, S^2 has vanishing odd degree rational cohomology groups but there is a fixed-point free automorphism.

【位相幾何パズル】 難易度はIMO1~2番級くらい。気持ち良く解けるので暇つぶしにオススメ

まさしく！ついさっき別の人に指摘されたけど、P^nの接束のXへの制限のオイラー数がd^2であることを使って直接 |G| | d^2を示す方針もあるらしい

今日はこの証明のアウトラインを教えてもらったが、想像以上に衝撃的な話だった。q-彩色多項式のe-展開の係数が対応する量子散乱図のテータ基底の係数とぴったり一致し、Davison-Mandelの正値性からSW予想が従うらしい（OpenAIの論文は正値性の別証明も議論していて、それで長くなっているとか）

誰も見ないと思って雑に書いてしまった... 作用が自由であることから群の位数が超曲面の位相的オイラー数を割る、という意味で書いた（補題3からGがp-群であることがわかるので、オイラー数のpでのオーダーを見れば良くなる）

よく考えたら補題3を示した時点でオイラー数の可除性から補題4が従うね こっちの方が思いつきやすいかも

想定解答も置いておきます。補題4の表現論パートが気持ちいい（僕はこのステップに気付けずゴリ押してしまった）

AIに作ってもらった代数幾何パズルが結構面白かった。主張自体も意外性があって面白い。難易度はIMO2~3番級くらい

さっき142857の巡回現象と原始根について解説する動画を撮影したのだが、帰ってきて動画データを確認したらめちゃくちゃ計算間違えてて全然巡回してなかった😅 来週また撮り直さないと…

コメント付き論文リスト読むの楽しいのでもっと流行って欲しいな

この計算で三次元多様体のラングランズ双対性予想の成立を確信したのですが、ほんの数日前に反例が見つかりました😭 一方で多くの場合に成立するのは確かで、例えばザイフェルトだと成立するはずです。双曲多様体でも非自明な成立例がたくさんあり、現在は予想の修正版を模索しています。(終)

冒頭の恒等式は直接証明でき、両辺をエータ関数で展開するとヤコビのテータ関数の恒等式に帰着できます。一般にM=T^3のときに前ツイートの公式を使ってラングランズ双対性が示せます(一ヶ月前にAstraがケースバイケースの計算で証明してくれました)

この予想をM=T^3, G=Sp_{2n}で考えると冒頭の等式が復元されます！ ※ 一般にa(T^3; G)はGの可換な四つ組であって、うち三つは半単純でもう一つは冪単であり、四つ組の中心化群が非自明なトーラスを含まないようなものの共役類の数と一致することが示せます。

連結コンパクトリー群(の複素化)には双対群と呼ばれる群が定義されます。表のように元の群と全く異なる群になることもあります。 a(M; G)が群を双対に取り替える操作で不変になるというのが三次元多様体のラングランズ双対性予想の定式化の一つです。

冒頭の等式は「位相的DT不変量」の計算の副産物として見つけました。この不変量は向き付き閉三次元多様体Mとコンパクトリー群Gを引数に持つ整数です。 ※ a(M; G)は局所系(Mの基本群からG_{C}への準同型)を仮想的に数える不変量で、BPSコホモロジーの次元の交代和として定義されます。

画像の等式は最近の研究で見つけたものです。一見単純な恒等式ですが、背後には三次元多様体のラングランズ双対性があります！